在本章中,我们讨论了伯努利瓮模型和随机游走模型,然后将这些模型应用到了很多领域。我们看到,这些模型能够从连续得分现象中解析出随机性,还可以用来制订博彩策略、评估股票价格变化的时间序列,以及理解篮球比赛的结果。我们还懂得了如何应用随机游走返回时间的幂律分布来增进对企业生命周期和生物分类单元的理解。

 

从这些应用中,我们看到随机游走模型为评估时间序列提供了一个很有用的框架。我们不能被一两年的成功所愚弄,因为那并不意味着持续的卓越。在《从优秀到卓越》(Good to Great)这本有史以来最畅销的商业书籍之一中,吉姆·柯林斯(Jim Collins)描述了那些能够持续取得成功的公司的特点,例如拥有谦逊的领导者、选择合适的人进入团队、保持严格的纪律。柯林斯以6次铁人三项世界冠军戴夫·斯科特(Dave Scott)的习惯为例,将之称为“冲洗你的奶酪”。戴维·斯科特会清洗奶酪以减少身体的脂肪含量。柯林斯在这本书中特意列出了11家坚持了他所说的那些原则的“伟大公司”。但是,在他的书出版后的10年中,只有一家公司实现了强劲增长。另外10家公司中,一家被其他企业收购了,一家由政府接管了,另外8家则只带来了零回报。
伟大的企业确实会拥有一些共同特征,但这个事实并不意味着这些特征就必定有助于成功。也许,很多表现糟糕的公司也拥有这些特征。挑选一些看上去很好的公司出来,列出它们的特征,这并不是模型思维。模型思维的要求是,推导出能够导致成功的那些特征,例如才华横溢的工人,然后再根据数据来检验相关结论。如果可能的话,最好寻找一些自然实验,也就是相关特征随机变化的实例。
其他模型,例如我们在第28章中将会介绍的舞动景观模型和崎岖景观模型,更是对吉姆·柯林斯的全部理论提出了根本性的质疑。如果经济是复杂的,那么今天证明成功的特征在未来并不一定同样有效。按“大石头优先”原则,当前的“伟大”在10年后甚至有可能连“不错”都算不上。在得出一般性的结论之前,必须应用多个模型,以避免“犯大错”的风险。也应该注意避免被某些“模式”所惑,看上去似乎是一个趋势,其实可能是随机。
1. 一位三分球命中率为46%的篮球运动员连续投中9个三分球的概率大约为1/1000(0.469)。如果这个篮球运动员一直继续投三分,那么在10年的NBA生涯中(总共参加大约800场比赛),一次都做不到三分球9投9中的概率大约为47%(0.999800)。
30多年来,统计学家一直在争辩,篮球运动员和其他职业运动员是不是真的会出现“热手效应”,或者换句话说,任何一次投篮或罚球命中的概率是否与前一次的成功相关。请参见:Chance, 2009。他分析了乔·迪马吉奥(Joe DiMaggio)的56场比赛连胜纪录。在考虑“热手效应”的证据时,我们必须考虑到行为。如果一名篮球运动员认为自己的手感很好,那么可能会尝试更加困难的投篮。此外,如果防守方觉得对方哪个运动员手感太好,他们就会收紧对他的防守。这些行为反应在模型中可以通过加大难度来体现。特沃斯基等人没有发现可以证明“热手效应”的证据。乔舒亚·米勒(Joshua Miller)和亚当·圣胡尔霍(Adam Sanjurjo)(2015)则在以往的研究中的条件概率计算中发现了一个推理错误,进而证明以前那些声称没有发现“热手效应”的研究实际上支持了“热手效应”假说。以前研究的这种误差源于采样技术中的缺陷。这些研究收集了多名(例如)篮球运动员投篮命中和不中的序列;然后再计算随机选择的多次投篮后某次投篮命中的概率。这种采样程序会引入一种微妙的统计偏差。
为了说明这种偏差,不妨考虑如下这种情况:多名篮球运动员每人只投篮4次,而且每次投篮都有相同的命中概率,这样就有16种可能的投篮命中和未命中的序列。我们用B代表投篮命中,用M代表投篮不中。在这16个序列中,有6个是连续两次命中后再接着投篮一次产生的,它们是:BBBB,BBBM,MBBB,BBMB,BBMM和MBBM。这些都是连续两次投篮命中后再投第三次篮的情形。如果抽到了BBBB,那么无论选择哪一个由两个B组成的序列,那么接下来再投篮命中的概率都等于100%。如果选择了MBBB,那么B跟着BB出现的概率也等于100%。但是,如果选择了BBBM,那么BB之后出现M的概率等于50%。最后,如果选择的是MBBM、BBMB或BBMM,那么M必定会在BB之后出现。求这6种情况的平均值:
1606265812120.png
之所以会产生偏差,是因为在序列BBBB中,有两个BB可以选择,但是在其他序列中,则只有一个(例如,BBMB)。前述采样程序使得BBBB的这两个子序列中的每一个被选中的概率都仅为BBMB中的那一个子序列的一半。这种偏差的含义是,如果不存在“热手效应”,那么这种采样程序就已经证明投篮命中后再投篮时更有可能不中。当然事实并非如此,而这就意味着投篮命中之后再投篮实际上更有可能命中。
2. 麦道夫几十年来一直宣称自己的客户每月的回报率为1.5%。他声称,无论市场大环境(“大盘”)如何变化,他的投资每个月都在升值。在经济衰退期间维持正收益,要比表现优于市场更加困难。当市场下跌时,一个人即使战胜了市场也仍然可能会出现负收益。整体市场下跌了80多个月,但是麦道夫却一直声称自己实现了正收益。如果我们愿意冒风险做出一个“英勇”的假设:即使在大盘下跌的时间超过3/4的情况下,麦道夫也能以某种神奇的方法取得正收益,那么他连续80期成功的概率大约为十亿分之一(0.7580)。
3. N次投注后,这随机游走的期望值等于1606265805995.png。由于获胜的概率大约为1606265927309.png,我们可以将这个值的标准偏差近似为1606265803808.png。确切的值则等于1606265801730.png

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